Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли

Рассмотрим произвольную систему $k$ линейных уравнений с $n$ неизвестными: $$\begin{cases} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \dots a_{1n}x_{n} = b_{1} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \dots a_{2n}x_{n} = b_{2} \\ \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots \\ a_{k1}x_{1} + a_{k2}x_{2} + \dots a_{kn}x_{n} = b_{k} \end{cases} ~~~~~(*)$$ Систему $(*)$ можно компактно записать в виде $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$, если ввести обозначения: $$A := \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{k_{1}} & a_{k_{2}} & \dots & a_{kn} \end{pmatrix},~~~ \mathbf{x} := \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix},~~~ \mathbf{b} := \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{k} \end{pmatrix}$$ где $A$ - **основная матрица** системы, $\mathbf{x}$ и $\mathbf{b}$ - столбцы неизвестных и свободных членов. $k \times (n+1)$-матрица $A~|~b$, получаемая приписыванием к основной матрице системы столбца свободных членов, называется **расширенной матрицей** системы $(*)$

Система линейных уравнений совместна $\iff$ ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы.

Обозначим расширенную матрицу системы $(*)$ через $B$. Вектора-столбцы матрицы $A$ будем обозначать через $\mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \dots, \mathbf{a}_{n}$. Пространства, порождённые векторами-столбцами матриц $A$ и $B$ будем обозначать через $V_{A}$ и $V_{B}$. Заметим, что $(*)$ может быть записана в виде векторного равенства: $$x_{1} \mathbf{a}_{1} + x_{2} \mathbf{a}_{2} + \dots + x_{n} \mathbf{a}_{n} = \mathbf{b}$$ Следовательно, система $(*)$ совместна в том и только в том случае, если вектор $\mathbf{b}$ является линейной комбинацией векторов-столбцов матрицы $A$, т.е. $\mathbf{b} \in V_{A}$ $\Large\implies$ Система $(*)$ совместна. Тогда $\mathbf{b} \in V_{A}$. Значит все столбцы $B$ лежат в $V_{A}$, поэтому $V_{B} \subseteq V_{A}$. Но столбцы матрицы $A$ являются столбцами $B$. Отсюда $V_{A} \subseteq V_{B}$, а значит $V_{A} = V_{B}$. Но тогда и $\mathrm{dim}~V_{A} = \mathrm{dim}~V_{B}$, а в силу теоремы о ранге матрицы ранги $r(A) = r(B)$ $\Large\impliedby$ Ранги $A$ и $B$ равны, $r = r(A) = r(B)$. Базис пространства $V_{A}$ состоит из $r$ векторов и для удобства будем считать, что он состоит из первых $r$ столбцов $A$: $\mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \dots, \mathbf{a}_{r}$. Так как эти вектора лежат и в $V_{B}$, а $\mathrm{dim}~V_{B} = r$, то эти вектора образуют и базис $V_{B}$. Вектор $\mathbf{b} \in V_{B}$ и потому является линейной комбинацией базисных векторов $\mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \dots, \mathbf{a}_{r}$, а значит и линейной комбинацией всей системы векторов-столбцов $A$, т.е. $\mathbf{b} \in V_{A}$. Следовательно, система $(*)$ совместна. $~~~\square$

Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли ([с википедии](https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Кронекера_—_Капелли))